No estudo dos
números primos, nos deparamos, desde o começo, com mais um caso de diferença de
significado de termo em relação ao uso corriqueiro da língua. Esse fato poderá
ser observado na pergunta: “por que números primos”? Inicialmente nos
vem à mente a ideia de parentesco. Porém, o termo primo, em matemática,
não é utilizado para designar parentesco, e sim para indicar a ideia de primeiro.
Isso significa dizer que, sendo os primos os primeiros, eles são os
responsáveis por gerar os demais números naturais por meio da multiplicação.
Dessa última afirmação, deduz-se que todos os números naturais não primos podem
ser escritos como produtos de primos.
No livro IX da Teoria dos Números, além de vários
outros teoremas interessantes, ganha destaque a proposição 20: “Números
primos são mais do que qualquer quantidade fixada de números primos”. Com
essa afirmação, Euclides procurou provar elementar mente a ideia de infinidade
dos números primos, mesmo que indiretamente.
A prova para a infinidade de números primos pode
ser dada assim:
Vamos chamar “todos” os números primos de N, sendo
N natural. Como N é natural e representa uma contagem, poderíamos enumerar todos
os números primos (P) da seguinte maneira:
P1,
P2, P3, P4,..., PN.
Se considerarmos M o produto de todos os números
primos, teríamos:
M = P1 x
P2 x P3 x P4 x...x PN
Ora, podemos verificar que M é maior que N e que M
não é primo, pois ele é composto por “todos” os primos e “todos” os primos são
dele divisores. Porém, se pegarmos M + 1, perceberemos que esse número é ainda
maior que N e que ele não pode ser dividido por nenhum dos primos, inclusive PN,
pois sempre sobrará o resto 1. Desta forma, concluímos que PN não
pode ser o maior dos primos ou que existe um primo maior que PN tal
que M + 1 seja divisível por ele ou ainda que M + 1 é um número primo.
Atualmente, os números primos são calculados com a
ajuda de computadores potentes, super máquinas capazes de encontrar e armazenar
os dados gerados em meses de trabalho. Em 2008, por exemplo, foi encontrado um
número primo, na Universidade da Califórnia, com quase 13 milhões de
algarismos. Por outro lado, num passado bastante remoto, os números primos não
eram encontrados tão facilmente assim. Há cerca de 2300 anos, o matemático
grego Eratóstenes criou um dispositivo que indicava se um número era primo ou
não. Esse dispositivo ficou conhecido comoCrivo de Eratóstenes.
No Crivo de Eratóstenes os primos eram encontrados
da seguinte maneira: Escreve-se uma sequência de números naturais
consecutivos, por exemplo, de 1 a 100. Risca-se o 1, pois ele não é primo.
Separe o 2 e risque todos os múltiplos dele, pois como eles são divisíveis por
2, não são primos. Depois, separe o 3 e risque todos os múltiplos dele.
Continue separando os números não riscados e riscando os seus múltiplos, até
que só sobrem os números separados (primos).
Como sei se um número é primo?
Um número é primo quando possui apenas dois
divisores: 1 e ele próprio. Por convenção, o número 1 não é primo, mesmo
obedecendo ao critério anterior. Os números maiores que 1 e que possuem
mais que 2 divisores não são primos, são compostos.
Como afirmou Eratóstenes, se um número é múltiplo
de outro então ele não é primo, e sim composto. Portanto, para sabermos se um
número é primo ou não, devemos detectar se esse número é múltiplo de outro
número. Para isso, podemos dividir esse número por primos conhecidos até
que obtenhamos um quociente menor ou igual ao divisor. Se até esse ponto
nenhuma divisão for exata, então esse número é primo.
Vamos verificar se o número 103 é primo.
Decomposição em fatores primos
Como afirmado anteriormente, todo
número natural não primo é composto por fatores primos. Podemos decompor
totalmente um número em fatores primos, sendo esse procedimento chamado de fatoração
completa do número.
Vamos decompor o número 130 em fatores
primos.
Para realizar essa tarefa, vamos
dividir 130 por números primos divisores dele, sempre do menor primo ao maior, até
obtermos quociente 1.
Veja que agora o número 130 foi escrito
pelo produto de números primos.
Quais fatores primos compõem o número
700?
O número 700 é composto pelos primos 2
. 2 . 5 . 5 . 7 = 22 . 52 . 7.
Encontrando o m.m.c. e o m.d.c. pela decomposição
em números primos
- Determine o m.m.c. dos números 8 e 24.
Feita a decomposição em fatores primos,
basta multiplicar os divisores entre si: 23. 8 = 24. Conclui-se,
portanto, que o menor múltiplo comum a 8 e 24 é 24.
- Encontre o maior divisor comum de 84 e 126.
Perceba que, à medida que a
decomposição vai sendo feita, vamos separando os divisores comuns a ambos os
números. Por exemplo: 2 dividiu 84 e 126; 3 dividiu 21 e 63; 7 dividiu 7 e 7. Após isso, basta multiplicar os divisores
comuns entre si. O resultado é o m.d.c. Conclui-se, portanto, que o maior
divisor comum a 84 e 126 é 42.
“Confio
nos números, pois eles jamais mentiram para mim”.
(Robison
Sá)
O
que os números primos ajudam no dia-a-dia?
Os
números primos servem para o auxilio de muitas pessoas que trabalham em
comercio e comerciante também os funcionários tem que saber quantos alimentos
tem e logo depois tem que dividir suas tarefas se sair um numero primo,um funcionário
terá q fazer uma tarefa a mais.Ja o comerciante precisa calcular quanto deve
gasta quantas mercadorias sobro e vamos dizer que vai dividir a conta com um
amigo se sair um número primo de produtos alimentícios um sempre vai ter que
pagar a mais.
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